Ingeniería Didáctica

¿POR QUÉ MENOS POR MENOS ES MÁS?

Por: Guillermo Limones Pozos

RESUMEN

Construcción de un Proyecto de Secuencias Didácticas por medio de la Ingeniería Didáctica cuyo objetivo es Justificar la Ley de los Signos, para el Módulo de Petaquillas, Gro., y Submódulo de Mazatlán, Gro., perteneciente al Centro de Educación para Adultos “Francisco González Bocanegra”, CCT 12DBA0050G, ZE 03.

PALABRAS CLAVE

Ingeniería didáctica, justificar ley de los signos, por qué menos por menos es más.

ÍNDICE

• Introducción
• Análisis preliminar
• Objetivos
• Análisis epistemológico
• Análisis de la enseñanza tradicional
• Análisis de las concepciones de los estudiantes
• Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas
• Experimentación
• Análisis a posteriori y evaluación
• Conclusión
• Proyecto
• Evidencias
• Anexos

INTRODUCCIÓN

Llegar a darle un significado a las cuatro leyes de los signos no es una tarea simple, al principio la primera ley (+ por + = +) pareciera ser algo fácil y sencillo, pues por la propiedad de cerradura se puede demostrar fácilmente al tener dos operandos positivos el resultado es positivo; al llegar a la segunda ley (- por + = -) ya no es tan simple, ya que uno de los operadores es un número negativo y con eso se cambia el campo numérico que va de operar con N a operar con Z, con la ayuda de la recta numérica se puede verificar que, sumando el mismo número negativo da como resultado la multiplicación del negativo con uno positivo (que indica el número de veces a sumar).

Ahora bien, la tercera ley (+ por - = -) indica multiplicar un valor positivo un número determinado de veces, pero ¿qué pasa si éste valor es un número negativo?, dicho de otra manera: ¿cómo se pudiera representar multiplicar un número, un negativo número de veces?

La cuarta y última ley, presenta aún más complejidad (- por - = +). Para el alumno no tiene sentido representar un número negativo y reproducirlo un negativo número de veces. Y es aquí donde radica la importancia de justificar la ley de los signos.

Pudiera ser el caso que, si no conocen cómo operar la multiplicación con ayuda de la recta numérica no tendría sentido siguiente proyecto. Es por eso que en todo el trabajo se le da la importancia de registrar todos los procedimientos hechos en la recta numérica en dos tablas.

ANÁLISIS PRELIMINAR

OBJETIVOS

Que el alumno:

•    Sea capaz de descubrir las leyes de los signos por medio de patrones.
•    Le dé un significado de por qué menos por menos es más.
•    Sea capaz de reproducir la ley de signos en la multiplicación y división.

ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DE LOS CONTENIDOS CONTEMPLADOS EN LA ENSEÑANZA

Se realizó una revisión de lecturas para buscar la justificación de la regla de los signos y se encontró un artículo muy interesante bajo el título “La Justificación de la Regla de los Signos en los Libros de Texto: ¿Por qué menos por menos es más?” de Bernardo Gómez , a modo de introducción se lee:

[…Con motivo del curso “Historia y educación matemática”, del programa de doctorado “Didáctica de las matemáticas” del Departamento homónimo de la Universidad de Valencia, se realizó un trabajo de exploración sobre la evolución de los conceptos de número, unidad y magnitud. Una parte de este trabajo se centró en “la regla de los signos”…]

Al realizar la lectura, se identificaron dos ejemplos que podrían trabajarse en el centro de trabajo:

1.    [La justificación en coherencia con la propiedad distributiva, sin hacer ninguna suposición acerca de qué cosa son los números negativos; Crowley y Dunn (1985) en Mathematics Teacher recogen varios tipos de justificaciones de la regla. Una de ellas es una alternativa a la demostración de Laplace con un carácter más formal…], y

2.    [La justificación desde la modelización numérica… Crowley y Dunn (1985) presentan una alternativa que consiste en modelizar un patrón numérico conducente a una conjetura suficientemente fiable para ayudar a los estudiantes a hacer plausible la regla… se propone una actividad de descubrimiento del patrón como la que sigue:

Actividad:
Complete el patrón
(-3)    ◊    (+3)    =    -9
(-3)    ◊    (+2)    =    -6
(-3)    ◊    (+1)    =    -3
(-3)    ◊    (0)    =    0
(-3)    ◊    (-1)    =    __
(-3)    ◊    (-2)    =    __
(-3)    ◊    (-3)    =    __

El patrón que se ve es que los productos aumentan de 3 en 3.].
La segunda opción resulta ser una forma sencilla (al parecer del autor) de abordar la construcción de las leyes de los signos por parte de los alumnos.
El profesor será el guía para ayudar a la construcción del conocimiento que se pretende crear con el presente proyecto.

ANÁLISIS DE LA ENSEÑANZA TRADICIONAL Y SUS EFECTOS

El proyecto se ubica dentro del nivel de secundaria, octavo grado:

•    Contenido:    2.1.1. Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
•    Tema:    Problemas multiplicativos.
•    Eje temático:    Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Los libros de texto utilizados en clase son los siguientes:

1. Arriaga Robles, Alan y Marcos Manuel Benítez Castanedo. Matemáticas 2. Por competencias. Segundo grado, educación secundaria. Edit. Pearson. 1ª edición. México. 2013.
2. Sánchez Sandoval, Fidel. Matemáticas 2: Construcción del pensamiento. Secundaria. Edit. Fernández Educación. Serie Evolución. México. 2013.

El 1) tiene la deficiencia de qué no aborda algún ejemplo claro de cómo validar las leyes de los signos, muestra las dos tablas (una para multiplicar y otra para dividir) para aplicar las leyes,  y se pide realizar algunos cálculos mismos que se verifican con la calculadora. De modo que se hace muy raquítica e ineficiente la información del texto para construir algún significado.

El 2) muestra la construcción con ayuda de la recta numérica de un patrón de sucesiones, seguido de un registro en una tabla la cual muestra la relación de la suma con la multiplicación, hasta ahí se pudiera considerar una buena ayuda para dos de las cuatro leyes de los signos, más en el tercer ejercicio que es otra tabla de patrones no queda muy claro cómo cambia de la segunda a la tercera ley de los signos, y más aún, dan por hecho que se evidencia la última y más complicada ley, menos por menos es más.
Ambas actividades de los libros se presentan como anexos al final del documento.

En libros de texto anteriores a la reforma del 2011 no se muestra ninguna demostración que pudiera utilizarse para validar el procedimiento, mucho menos darle algún sentido a las leyes.

Es por eso que se decide crear un proyecto que indica una secuencia de actividades que ayude a comprender al alumno estas cuatro leyes, utilizadas en multiplicaciones y divisiones.

ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES DE LOS ESTUDIANTES, DE LAS DIFICULTADES Y OBSTÁCULOS QUE DETERMINAN SU EVOLUCIÓN

Durante el transcurso de la vida académica del alumno, el operar con campos numéricos diferentes puede presentar alguna complicación si no se tiene una justificación de cómo se representan las operaciones en la vida cotidiana; más aún, algunos no logran relacionar por ejemplo, el producto como una suma iterada y viceversa. La recta numérica representa en la educación primaria una herramienta sumamente importante para operar, en un principio con N; sin embargo el cambio del campo numérico en el paso a la educación secundaria puede perderse esa noción (relación de la multiplicación como suma y viceversa) si es que no se  practica con la recta numérica, pues al tratar con Z ya no se operan solo un mismo tipo de número, sino que intervienen además de los positivos, los negativos y el cero.

Se ha detectado que los alumnos de la sede no operan por sí solos las distintas operaciones con Z, y algunos presentan algunas dificultades para representar la suma iterada de un mismo número como una multiplicación.
Sin embargo, más que realizar alguna investigación de por qué no lo hacen la meta del autor es tratar de simplificar los contenidos de manera que se justifiquen todas las dudas que pudieran presentarse en el desarrollo de la clase.

Una de las dudas es justificar la ley de los signos (resultado de operar con Z) ya que con el desarrollo de competencias indica que ya no se debe enseñar solo el algoritmo, sino que el alumno sea capaz de representar el conocimiento que, con ayuda de actividades secuenciales ha sido capaz de construir.

Una vez que sea capaz, en primera instancia, de representar en la recta numérica las operaciones de suma iterada de un mismo número y la registre como multiplicación de dos números naturales, el siguiente paso es hacer las operaciones inversas, ahora, con números enteros.

A continuación, el diseño de la secuencia didáctica debe cumplir con los siguientes objetivos:

•    Proporcionar un proceso de registro iterativo en una tabla, la cual contiene las operaciones hechas en una recta numérica.
•    Se puede operar con cualquier número entero, positivo o negativo exceptuando el cero.
•    Debe quedar claro los pasos a seguir para el llenado de los registros de operaciones.

CONCEPCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS

El diseño se compone de tres etapas:

1.    Operar con dos números enteros positivos, expresar la suma iterada como multiplicación.
2.    Empezar desde un múltiplo positivo, de tal manera que las iteraciones a realizar se realicen de manera inversa y se vaya restando el múltiplo.
3.    Empezar desde un múltiplo negativo, de tal manera que las iteraciones a realizar se realicen de manera inversa y se vaya sumando el múltiplo.

En todas las etapas, las operaciones de los enteros se hacen por medio de la recta numérica y se lleva un registro de resultados en su tabla respectiva. El uso de fichas de colores (un color para los positivos y otro color para los negativos) se realiza como apoyo al cálculo, también se pueden poner un signo a la ficha para reforzar la representación.

EXPERIMENTACIÓN

La actividad se realiza con estudiantes del Módulo de Petaquillas, Gro., y Submódulo de Mazatlán, Gro. La población de alumnos es de 18 alumnos (7 hombres, 11 mujeres) y cuyas edades varían de los 15 a los 23 años.

Las tres etapas de la prueba pueden realizarse en una sesión, máximo una hora.
Se puede trabajar individualmente o en binas, si el grupo es muy numeroso no debe exceder de tres integrantes por equipo, uno puede realizar la operación, otro puede llevar el registro y el tercero sirve como observador y ayuda a corregir en caso necesario.

Se registran los resultados en cada etapa y se esperan a los demás equipos para comparar los resultados e ir avanzando juntos.
Al finalizar la actividad, se puede llevar un registro en audio o video para llevar los resultados a otro grupo de trabajo.

ANÁLISIS A POSTERIORI Y EVALUACIÓN

Al principio del documento se expresaron las deficiencias que tienen los alumnos de la sede para representar los valores negativos y operar con ellos.
También se expresó que no son capaces de representar a los Z con la ayuda de la recta numérica.

Estos dos problemas aún se siguen presentando en la realización del proyecto, en el análisis de respuestas se encontró que los alumnos:

•    Presentan dificultades para representar la multiplicación como suma iterada y viceversa.
•    No hacen un análisis detallado de las secuencias o patrones en el registro.
•    Al llegar al cero, no siguen el patrón. Continúan con los enteros positivos.

Sin embargo, esto no quiere decir que la prueba no obtuvo buenos resultados. Es suficiente saber que de las cuatro leyes de los signos, identifican muy bien la primera ley (mas por mas es mas). Aunque no todos llegaron a la segunda ley, con más práctica seguro que esta deficiencia se va a poder superar.

CONCLUSIÓN

Aunque no se cumplió con la totalidad del objetivo principal, si se avanzó como grupo el ir resolviendo algunas dudas en forma individual y como equipo, a decir:

•    Ya son capaces de identificar una multiplicación como suma iterada y viceversa.
•    Con más práctica, serán capaces de operar con Z-.
•    El cero lo representan sin signo, y saben que es un valor nulo.
•    Identifican un valor constante y un valor variable.

Entonces, mientras que les es más fácil y más rápido operar con Z+ la deficiencia central es que se resisten a operar con Z-, hay algo que los detiene y no pueden avanzar además de que no se han atrevido a tratar de resolver el problema (cognitivo), sin embargo el paso que se da de operar con números positivos a negativos se podrá cumplir con más práctica y con más ejercicios donde representen las operaciones con Z con ayuda de la recta numérica.

PROYECTO

OBJETIVOS

Que el alumno:
•    Sea capaz de descubrir las leyes de los signos por medio de patrones.
•    Le dé un significado de por qué menos por menos es más.
•    Sea capaz de reproducir la ley de signos en la multiplicación y división.

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PRIMERA ETAPA

OBJETIVO

El alumno registra una suma iterada con números naturales en la recta numérica y registrar sus cambios en una tabla; de la misma manera, anotar la suma como un producto.

MATERIALES

•    Una hoja con un dibujo de una recta numérica.
•    Lápices de colores.
•    Fichas de colores.
•    Lápiz, goma y sacapuntas.

INDICACIONES

A)    Múltiplo a registrar: 1
1.    Colocar la hoja A de manera horizontal.
2.    Enumerar las divisiones de uno en uno, empezando de 0 hasta llegar a 10.
3.    Colocar una ficha en la recta que marca el cero.
4.    Anotar el registro en la tabla A.
5.   
 

SEGUNDA ETAPA

OBJETIVO

El alumno deberá registrar una suma iterada con números naturales y registrarlo en una tabla, de la misma manera,

INDICACIONES

xx

 

TERCERA ETAPA

OBJETIVO

El alumno deberá registrar una suma iterada con números naturales y registrarlo en una tabla, de la misma manera,
INDICACIONES
xx

 

EVIDENCIAS

ANEXOS

Libro de texto 1 [PDF]
Libro de texto 2 [PDF]